Gödels ofullständighetssats:
I varje logiskt system för matematik finns det påståenden om tal som är sanna, men som inte kan bevisas.
This statement cannot be true
Måste antingen vara sant eller falskt.
Om påståendet är falskt så kan det bevisas. Då måste det vara sant. Vilket är en motsägelse, alltså måste påståendet vara sant.
Här är alltså ett matematiskt påstående som är sant, men inte kan bevisas.
Tänk om Riemannhypotesen skulle visa sig vara sann, men omöjlig att bevisa?
__________________________________________________________________
Jag menar att så inte kan vara fallet. Det verkar för mig, som att Gödels ofullständighetssats faller på dess semantik! Det är visserligen ett logiskt resonemang som bygger på satsen, men man kan inte använda sig av ordföljden matematiskt. Vad menar jag nu med det? Jo, satsen; ”This statement cannot be true” måste mycket riktigt vara antingen falskt eller sant, men om den är falsk så borde man, för att det ska vara möjligt att omsätta det till matematiska formler som säger någonting om något annat än semantik, byta ut orden ”cannot be true” till ”must be true”, vilket också gör det sant. Y får stå för ”cannot be true”, och X får representera ”must be true”. A får stå för de inledande orden ”this statement”.
———————————-X ”must be true”
”this statement” A X alternativt Y, men det kan inte vara båda!
———————————-Y ”cannot be true”
Satsen som den ser ut ovanför strecket bevisar möjligen att någonting semantiskt kan vara antingen falskt eller sant, fast det inte kan bevisas. Men den bevisar väl ingenting, med matematik, om världens beskaffenhet bortom det? Jag har ett filosofiskt exempel på hur semantik kan röra till det när man försöker att omsätta den till logiska uppställningar! Uppställningen av kriterierna (för hur vi ska kunna anses ha kunskap om någonting) är konstruerat av Platon, och problematiserat av den erkände filosofen E. Gettie. Det har ansetts som ett olösbart problem under många år. Problemet är besläktat med Gödels ofullständighetssats på grund av sin semantiska beskaffenhet. Jag anser mig ha kommit så nära en lösning som man kan komma:
ETT KUNSKAPSTEORETISKT OCH RATIONELLT AVGÖRANDE AV PLATONS TEOREM OCH E.GETTIES EXEMPEL MED VARGEN. (version fyra)
Det åker ett tåg förbi en äng. På ängen står en varg. Resenärerna ser vargen.
Enligt Platon krävs tre kriterier för att vi ska kunna ha kunskap om det.
(1) Det ska vara en trosföreställning.
(2) Den ska överensstämma med verkligheten.
(3) Vi ska ha rationella skäl för att godta den.
Alla tre kriterierna är uppfyllda. Anta nu att, som i E.Getties exempel, vargen i själva verket är en hund, utklädd till varg. Lite längre bort på ängen står det en riktig varg. De tre kriterierna är fortfarande uppfyllda. Kan vi ha kunskap om att det står en varg på ängen (att teoremet har uppfyllts) genom att observera hunden, och tillämpa de tre kriterierna? Svaret är att det kan vi ju inte! Teoremets riktighet är helt oberoende av vår observation av hunden (vi vet ju inte att ”vargen” är vår utklädda hund, eller att det finns en riktig varg strax bakom hunden på ängen).
Eller borde man kanske säga att teoremet tvärtom är helt beroende av våra observationer, därför att våra observationer resulterar i vår trosföreställning (1), och de rationella skälen (3). Men där av följer att våran observation medför en felaktig slutsats, för den synliga vargen är falsk. Teoremet är fortfarande sant, men Platons teorem kräver en ändring för att kunna appliceras på situationen.
(1) Det ska vara en trosföreställning.
(2) Den ska överensstämma med verkligheten.
En allvetande ärkeängel måste vara domare över huruvida teoremet överensstämmer med den verkliga situationen. Eller med andra ord:
(3) Man, ska ha rationella skäl för att godta den.
Därigenom bygger man inte premiss (3):s rationella skäl (enligt ovan) på observationer från vår sida. Genom att ändra premiss (3) till: Man ska ha rationella skäl att godta trosföreställningen, så flyttar man över domslutet för vad som är rationellt från oss själva, till en allvetande ärkeängel. En invändning man kan komma med är att man kan säga att premiss (3) inte behövs då, därför att påstå att premiss (3), är samma sak som att påstå att premiss (2).
Teoremet i sig är inte avgörande för att få ett kunskapsteoretiskt svar på undersökningen av den rationella slutsatsen om teoremet. Det viktiga är att veta när ett rationellt svar följer av premisserna. Alltså inte när- premisserna är rationella. ”Ett rationellt svar”, är övergripande över hela situationen med vargen och tar med i beräkningen både vargen och hunden som entiteter (även i matematiken!). Premisserna har inte medfört ett rationellt svar i Platons teorem, för det är ju det som är hela poängen med Getties påhittade exempel. Där kommer ärkeängeln och min modifierade tredje premiss in i bilden.
I följande exempel har inte Platons samtliga ursprungliga premisser uppfyllts: Säg att det vid ett tillfälle står en hund utklädd till varg på ängen (premisserna 1 och 3 är uppfyllda) medan det inte finns en varg bakom hunden (premiss 2 är ej uppfylld), då kan vi inte dra en korrekt slutsats om att ”vargen” i själva verket är en utklädd hund, så länge vi befinner oss på tåget. Hade vi kunnat det så hade det inte varit vår trosföreställning att det står en varg på ängen, även om det hade stått en varg bakom hunden.
I vårt andra exempel från Platons ursprungliga teorem har vargen befunnit sig bakom hunden, och då har samtliga 3 premisser uppfyllts. Vid detta tillfälle kan vi inte heller dra en korrekt slutsats utifrån vår position på tåget (under överinseende av en allvetande ärkeängels domslut om vad som är en korrekt slutsats), om att det står en varg på ängen, eftersom vi inte ser den, för vi ser bara den utklädda hunden. Vi tror däremot att förutsättningarna är i sin ordning, (vilket de i själva verket är, men inte som vi tror, för vi tror att hunden är vargen på ängen), och drar därmed en slutsats som råkar vara sann, utifrån vår felaktiga trosföreställning och Platons ursprungliga premisser, (vilket jag här säger att vi har åstadkommit en accidental conclusion, som vi kan kalla det). Det krävs dessutom att den utklädda hunden liknar en varg för att vi ska kunna dra en sann (men dock inte övergripande korrekt), slutsats. Om det hade stått en vattenfontän eller en utklädd Tax framför vargen istället för en utklädd schäferhund, så hade vi aldrig dragit slutsatsen att det står en varg på ängen, utifrån att titta på fontänen eller Taxen. Slutsatsen är sann i vårt andra exempel där alla tre premisserna uppfyllts, men den är inte korrekt. För att det ska vara en korrekt slutsats krävs det att premisserna implicit tar hänsyn till alla bakomliggande fakta. (Läs och jämför med Gödels ofullständighetssats!) Återigen; teoremet i sig är inte av en avgörande betydelse. Det viktiga är att kunna avgöra när premisserna medför ett rationellt svar. Och det är där som ärkeängeln och min modifierade tredje premiss kommer till nytta, för där är det ärkeängelns insikt som är idealet, inte min insikt, och det medför ett rationellt svar på teoremet. Sen att det ursprungliga teoremet är sant är en ren slump (läs plump) och inte relevant för hur man borde ställa upp premisserna. Att dra en sann slutsats utifrån felaktiga bakomliggande fakta är något som har hänt tidigare i historien. T.ex fanns det en gammal grek som sade att jorden var rund långt innan någon annan tänkt på det, och denna slutsats grundade han på att skuggan på månen inte kunde vara en avbild av jordens form, om jorden var platt. Han trodde att månen skuggades av jorden när den i själva verket skuggas av sig själv och sin position gentemot solen sedd från vårt perspektiv. I ljuset av detta förefaller Platons ursprungliga teorem och Getties situation med vargen, som ganska absurda. Teoremet ”bevisar” nämligen mer än det kan bevisa, precis som månens skugga kan göra för den som har vissa trosföreställningar. Trosföreställningen ((1) vi tror att det finns en varg på ängen) och de rationella skälen ((3) vi har rationella skäl att godta att det finns en varg på ängen) tillsammans med ((2) Det finns en varg på ängen) kan tyckas vara vattentätt som logiskt teorem, men premiss (2) borde läsas/förstås och ställas upp så här: (vargen är falsk, men det finns en annan varg på ängen som vi inte ser), för att trosföreställningen skall överensstämma med verkligheten. Det är så vi måste anta premiss (2) tror jag. Hade vi bara sagt (2), det finns en varg på ängen. Ja, då hade det stämt, men borde man tillåta verkligheten i vår premiss att vara så simplifierad? I så fall skulle den inte vara helt sann, eller i alla fall, inte helt komplett. Det är en hel semantisk diskussion i sig självt! Titta på exemplet med den utklädda hunden som hade en varg bakom sig. Vi har rationella skäl att godta trosföreställningen att det finns en varg på ängen när vi åker förbi i tåget, enligt det ursprungliga teoremet. Vi har illusionen om hunden som varg. Men det slumpade sig att det fanns en varg på ängen. Om man bortser från premiss (2), här i formen: ”Det ska överensstämma med verkligheten”, är premiss (1) och premiss (3) enbart kosmetika? De är i alla fall logiskt dragna slutsatser utifrån vårt eget kortsynta perspektiv men ändå inkorrekt dragna konklusioner, eftersom de inte baserar sig på den faktiska situationen, men som av en händelse råkar vara sanna- ”accidental conclusions”.
Konklusion 1: Man ska ha rationella skäl för att godta trosföreställningen.
Konklusion 2: ”Accidental conclusions.”
Konklusion 3: Den utklädda hunden måste likna en varg, och inte t.ex. en Tax eller en vattenfontän, för att teoremet ska fungera.
Konklusion 4: Teoremet bevisar mer än det kan bevisa, enligt principen ”Jorden kastar sin karaktäristiska skugga på månen, och därför är jorden rund”, vilket är falskt till del.
I en lärobok som används vid lunds universitet på B-kursen, som heter ”Philosophy of LANGUAGE a contemporary introduction” av William G Lycan från ”University of North Carolina”, kapitel 13 om ”Implicative relations”, sidan 198 står det att läsa i de första raderna: ”Sentences entail other sentences, and in that strong sense imply them. But there are several ways in which sentences or utterances also linguistically imply things they do not strictly entail.” Det beskriver kapitlets innehåll väldigt kortfattat. I alla fall, i det här kapitlet kan man läsa en intressant sak som man direkt kan koppla till, och använda på Getties problematik utan att Lycan, eller kanske snarare Grice, tycks ha haft några intentioner åt det hållet.
Där står att läsa: ”-Here as in many cases, a good way to investigate the nature of these different kinds of implications, is to ask about the penalty or sanction that ensues when an implicatum is false. When S:1 entails S:2 and S:2 is false, the penalty is that S:1 is false. When S:1 semantically presupposes S:2 and S:2 is false, then S:1 is sent ignominiously to zip. When someone utters S:1, thereby conversationally implicating S:2, and the conveyed meaning or invited inference S:2 is false, then the penalty is that, even if S:1 is true, the speaker´s utterance is misleading. If S:1 conventionally implicates S:2 and S:2 is false, then S:1 is misworded even if not false.”
Man kan implicera och översätta det här till Getties exempel med vargen, direkt så här:
”-Here as in many cases, a good way to investigate the nature of these different kinds of implications, is to ask about the penalty or sanction that ensues when an implicatum is false. When a ”wolf” on the meadow (S:1) entails a belief (S:2) and the belief (S:2) is false, the penalty is that the wolf (S:1) is false. When the wolf (S:1) (semantically) (Jag väljer här att sätta det här ordet inom parantes) presupposes a belief (S:2) and the belief (S:2) is false, then the wolf (S:1) is sent ignominiously to zip. When someone utters wolf (S:1), thereby conversationally implicating a belief (S:2), and the conveyed meaning or invited inference of the belief (S:2) is false, then the penalty is that, even if the wolf (S:1) is true, the speaker´s utterance is misleading. If the wolf (S:1) conventionally implicates a belief (S:2) and the belief (S:2) is false, then the wolf (S:1) is misworded even if not false.”
För att översätta det här måste man ta till lite drastiska tolkningar. Bland annat måste man tolka följande mening – ”When someone utters wolf (S:1), thereby conversationally implicating a belief (S:2), and the conveyed meaning or invited inference of the belief (S:2) is false, then the penalty is that, even if the wolf (S:1) is true, the speakers utterance is misleading.” – som att yttranden alltid är missledande oavsett om de är sanna! Men direkt efter det framstår en intressant sak, nämligen – ”If the wolf (S:1) conventionally implicates a belief (S:2) and the belief (S:2) is false, then the wolf (S:1) is misworded even if not false.”
